---

---

---

W matematyce jest dużo materiału pamięciowego. Nuka matematyki w bardzo dużym stopniu musi się jednak opierać na rozumieniu, czyli analizie zagadnienia.
Pamięć odgrywa w matematyce ogromną rolę. Równie Jednak ważna jest wyobraźnia.
Najpierw trzeba pomyśleć, a dopiero w drugiej kolejności pisać wzory lub rysować wykresy. Powszechne zmuszanie uczniów do odwrócenia tej kolejności powoduje ich zrozumiałą panikę oraz niesie opłakane skutki w zakresie dalszej edukacji, nie tylko matematycznej.
Zawsze jest dobrze zacząć od opisu problemu, którym zamierzamy się zająć. Korzystne jest przedstawienie historycznej drogi dochodzenia do sformułowania problemu. Należy się koncentrować na istocie zagadnienia, a nie na kwestiach formalnych (wzory), które też są ważne, ale dopiero w drugiej kolejności. Wzorów można się wyuczyć, ale znacznie korzystniej jest także je rozumieć.
Bardzo dobrze widać to bardzo dobrze na przykładzie nauczania rachunku różniczkowego, które odbywa się najczęściej w formie tresury. Tymczasem, fundamentem nauczania rachunku różniczkowego jest wyjaśnienie sensu tego zagadnienia.
Spróbujmy.

Czym jest zmiana (= czym jest ruch)?
Na początek kilka argumentów przeciwko istnieniu zmiany, czyli przeciwko ruchowi. Autorem tych argumentów jest Zenon z Elei, żyjący w latach 490-430 p.n.e. Oto one (za: Władysław Tatarkiewicz, "Historia filozofii", Wydanie 10, Warszawa 1983, t. I, str. 37):

1. Tzw. ACHILLES. Najszybszy biegacz nigdy nie dogoni najwolniejszego, Achilles nie dogoni żółwia, jeśli ten choć cokolwiek go wyprzedzi. Goniący bowiem musi dojść najpierw do miejsca, z którego wyszedł goniony, ten zaś posunął się naprzód, i tak będzie zawsze.
   
   
2. Tzw. DYCHOTOMIA. Przedmiot, gdy znajduje się w ruchu i ma przebyć jakąś drogę, musi przebyć najpierw połowę tej drogi, potem połowę drogi pozostałej, potem połowę reszty i tak w nieskończoność. Jakkolwiek tedy mała jest droga, którą przedmiot ma przejść, zawsze musi przejść nieskończoną ilość odcinków, a tego w skończonym przeciągu czasu dokonać niepodobna, ruch więc jest niemożliwy.
   
   
   
3. Tzw. STRZAŁA. Lecąca strzała w chwili teraźniejszej nie porusza się, lecz spoczywa w powietrzu i nie przebiega żadnej przestrzeni; i tak samo jest w każdej chwili. Ale czas składa się z chwil, więc strzała nie może posuwać się naprzód w powietrzu, lecz spoczywa.
   
   
   
4. Tzw. STADION. Zawodnicy A (dyskobole) stoją w miejscu. Zawodnicy B (biegacze) poruszają się od lewej do prawej, a zawodnicy C od prawej do lewej, z taką samą prędkością jak zawodnicy B. Zawodnicy B mijają zawodników C (a zawodnicy C zawodników B) w czasie dwa razy krótszym (z dwa razy większą prędkością) niż mijają zawodników A. Zatem ciało może się poruszać jednocześnie z prędkością dwa razy większą i dwa razy mniejszą, co jest niemożliwe. Ruch taki jest sprzeczny z logiką i nie może istnieć.

Czy argumenty Zenona z Elei mogą się wydawać niedorzeczne? Pozory mylą! Ich bezsensowność jest (jeżeli już) tylko pozorna! Zenon z Elei dotknął 2,5 tysiąca lat temu jednego z najważniejszych i najpożyteczniejszych zagadnień matematycznych. Dotyczy ono ciągłości, przejścia od tego, co ma wymiar skończony, do tego, co ma wymiar nieskończony, zwłaszcza wymiar nieskończenie mały. Dotyczy ono zbieżności (i rozbieżności) ciągów. Dotyczy pojęcia granicy ciągów. To jest dziedzina pasjonująca!

Wróćmy jednak do argumentów Zenona.
Czy argumenty Zenona z Elei wydają Ci się bzdurą, niedorzecznością, głupotą?
Jeżeli tak, to przeczytaj je raz jeszcze. I jeszcze raz, i jeszcze raz. Za którymś razem dostrzeżesz (naprawdę nie jest to łatwe!) sens ukryty w tych argumentach. Z argumentami Zenona zmagały się przecież całe pokolenia filozofów.
Na czym ten sens polega?
Z argumentów Zenona z Elei wynika wiele zagadnień. Oto niektóre:

1. Zagadnienie ciągłości ruchu. Każdy ruch składa się z pokonywania nieskończenie małych odcinków. Mówiąc inaczej, jest to zagadnienie ciągłości funkcji, której argumenty składają się z (nieskończenie małych) odcinków, czyli punktów.
2. Sumowanie nieskończenie ilości elementów.
3. Droga składająca się z nieskończenie małych odcinków, przebyta w okresie czasu, który składa się z nieskończenie małych chwil. Zagadnienie granicy, zagadnienie całki (czyli sumy odcinków drogi przebytych w nieskończenie małych chwilach).
4. Istnienie prędkości chwilowej. Poruszająca się strzała znajduje się w każdej chwili w jednym miejscu, ale w każdym miejscu (w każdej chwili) posiada prędkość (prędkość chwilową) różną od zera.
5. Zagadnienie względności ruchu. To jedno z podstawowych zagadnień teorii względności.
6. Zagadnienie wartości (rezultatów) chwilowych oraz tendencji zmian tych wartości (określenie charakteru zmienności) - czyli zagadnienie pochodnej funkcji.

Jeżeli zagadnienia wydają się trudne, nie należy się tym nie zrażać. Nie (tylko) święci garnki lepią. Trzeba powracać do tematu, a za którymś razem pójdzie łatwiej. Pomoże w tym dobry podręcznik. Należy się jednak wystrzegać złych podręczników! Zły podręcznik to taki, który dużo miejsca poświęca zagadnieniom łatwym, a wcale lub prawie wcale się nie stara wyjaśnić istoty sprawy. Potrafi skutecznie zniechęcić do nauki. Niestety, złych podręczników jest więcej niż dobrych. Paradoksy Zenona pokazują, że nasze możliwości poznawcze i sposób myślenia nie odbiegają od możliwości Starożytnych. To jest dobra lekcja dla tych, którzy świętują nowoczesność. Zagadnienia Zenona (naprawdę, czapki z głów przed Zenonem) są nadzwyczaj istotne choćby dlatego, że prowadzą wprost do rachunku różniczkowego i całkowego. Rachunek ten wynaleźli długo po Zenonie (podobno niezależnie jeden od drugiego) Leibniz i Newton.
Powróćmy jednak do postrzegania ruchu, bo to jest nadzwyczaj ciekawe. Dlaczego początkowo traktujemy argumenty Zenona z Elei jako niedorzeczne? Dzieje się tak dlatego, że dla nas ciągłość ruchu jest czymś naturalnym. W umyśle działa system wykonujący automatyczne całkowanie (a także różniczkowanie). To spostrzeżenie powinno zachęcić do zgłębienia rachunku różniczkowego! Jak do tej pory nauczyciele przeważnie zniechęcają uczniów do tego typu dociekań. Nic dziwnego, że bardzo często uczniowie nie widzą w tym wszystkim żadnego sensu. Powróćmy do ruchu. To, co obserwujemy jako ruch, jest naprawdę takie, jak to przedstawiał Zenon z Elei: jest sumą nieskończenie wielu stanów nieruchomych, kiedy jedno położenie (a więc coś nieruchomego) przechodzi w kolejne położenie. Strzała na pewno znajduje się kolejno w różnych pozycjach (choć w żadnej z nich nie trwa dłużej, niż nieskończoną chwilę, póki leci).
Weźmy inny przykład: film. Każdy wie, że na taśmie filmowej przedstawione są kolejne statyczne ujęcia.



Jeżeli kolejne obrazy następują po sobie szybciej niż przebiega odświeżanie informacji w systemie oko-mózg, to szybkie następowanie kolejnych statycznych obrazów widzimy jako ruch (ciągłą zmianę pozycji). Spostrzeżenie, że zerowemu (tak naprawdę dążącemu do zera, nieskończenie małemu) odcinkowi czasu (chwili) odpowiada niezerowa (i niedążąca do zera) wartość przebytej w tym czasie drogi (czyli prędkość chwilowa) - jest istotą rachunku różniczkowego, wynikającą wprost z rozważań Zenona i twierdzeń o granicy ciągów. Odczytywanie zmieniających się obrazów jako ciągłego ruchu jest tutaj całkowaniem.
Zapisywanie ruchu w postaci kolejnych obrazów (zdjęć) jest z kolei odpowiednikiem różniczkowania. Matematyczne całkowanie i różniczkowanie różni się od tego filmowego jedynie tym, że w rachunku różniczkowym i całkowym bierzemy (w nieskończoność) odcinki coraz mniejsze i mniejsze dochodząc aż do wymiarów nieskończenie małych (czyli punktów).
W dziale matematyki, nazwanym analizą matematyczną, zawarta jest odpowiedź na dylemat zauważony przez Zenona z Elei. Otóż z tej analizy wynika, że suma nieskończonej ilości składników może być wartością skończoną. Konkretnie chodzi tu o pojęcia granicy ciągu oraz pojęcia sumy tak zwanego szeregu. O tym można sobie poczytać w podręcznikach matematyki. Ponownie ważna uwaga o podręcznikach: w każdej dziedzinie są podręczniki dobre i złe; nie należy się zniechęcać, kiedy natrafimy na kiepski podręcznik. Ze spostrzeżeń Zenona z Elei wynikają ciekawe i ważne wnioski ogólnej natury:

1. Umysłowość człowieka nie zmieniła się od tysięcy lat; Zenona z Elei należy ustawić w pierwszym szeregu filozofów starożytnych obok (m. in.) Pitagorasa, Sokratesa, Heraklita, Demokryta, Platona, Talesa, Euklidesa, Archimedesa.
2. Dociekania filozoficzne mogą prowadzić do fundamentalnych i niezwykle doniosłych odkryć i wynalazków. Wynalazek (a w zasadzie odkrycie, bo matematyka jest czymś naturalnym, odwiecznym i nieskończonym) dokonany w XVII w. przez Leibniza i Newtona jest podstawą współczesnej techniki, w tym techniki kosmicznej i komputerowej.
3. Pozornie niedorzeczne rozumowanie może prowadzić do zaskakująco rozsądnych rozwiązań.

Jaka jest zatem idea ruchu? Ruch zmianą położenia dokonującą się po drodze, która jest całką prędkości zmiany poszczególnych położeń w przestrzeni. Z kolei tempo zmian położenia w przestrzeni jest matematyczną pochodną (różniczką) drogi tego ruchu względem czasu ruchu (tzn. pochodną drogi jako całki tempa zmian).
Przy okazji pojawia się pojęcie bardzo istotne (może nawet najważniejsze), pojęcie czasu. Ale o tym może będzie w innym miejscu.
Powróćmy do procesu postrzegania ruchu. Podstawową rolę odgrywa tu dokładność postrzegania (czyli rejestrowania) zdarzeń w odniesieniu do odcinków czasu. Ciekawe, jak byśmy podchodzili do upływu czasu (czyli do przebiegu zdarzeń) gdybyśmy mogli rejestrować zdarzenia z większą dokładnością (w praktyce: z większą częstotliwością odświeżania informacji)? Albo gdybyśmy mogli tę dokładność regulować podobnie jak tworzymy filmy w zwolnionym lub przyspieszonym tempie?
Sprawa dokładności rejestracji w odniesieniu nie do czasu, lecz do przestrzeni, pojawia się przy rozważaniu umownego podziału świata na świat makro oraz świat mikro. W tym miejscu należy zauważyć, że widzimy (rejestrujemy zmysłami) tylko ruch w skali makro. Z punktu widzenia ruchu świat makro jest stabilny i bardzo uporządkowany. Ruch w świecie mikro jest względnie bardziej chaotyczny i mniej stabilny, choć rezultatem zdarzeń świata mikro jest stabilność świata makro. Owa stabilność (trwałość) jest kolejnym ważnym zagadnieniem.
Tak więc analiza z pozoru niedorzecznych (paradoksalnych) argumentów Zenona z Elei prowadzi do coraz szerszych obszarów konstruowania modeli rzeczywistości i zbliżania się do idei rzeczy.
Tą rzeczą jest w tym przypadku świat. Naprawdę warto pomyśleć o rachunku różniczkowym. Nie przerażać się tych nazw: całka, różniczka, nieskończoność. To tylko nazwy. Za nimi kryje się idea rzeczy. Argumenty Zenona z Elei są doskonałym wstępem do rozmowy o funkcji, ilorazie różnicowym, granicy, pochodnej i całce.

---